Жеті формуланың құпиясы

Жеті формуланың құпиясы

Кітаптағы қақпа Айша мен Данияр — 7-сынып оқушылары. Айшаның шашы екі түйінге жиналған, үстінде капюшонды жейде. Даниярдың шашы қысқа, үстінде футболка. Мектеп кітапханасынан олар жарқыраған кітап тапты. «Білім шамы сөнді! Жеті формуланы түсінген адам ғана оны қайта жағады», — деді кітап. Балалар бетті ашқанда, сиқырлы сарайға тап болды.

Квадрат бақтың сыры Сарай бағында қабырғасы a+b болатын шаршы тұрды. «Ауданын тапсаңдар, алғашқы кілт сендердікі!» — деді қақпа. (a+b)²=a²+2ab+b². Айша шаршыны a², ab, ab және b² бөліктеріне бөлді. Екі ab қосылса, 2ab шығады. «Демек, (x+3)²=x²+6x+9!» — деді Данияр. Бірінші кілт жарқ етті.

Азайған шаршы Мұнда a>b>0. Келесі алаңда қабырғасы a−b болатын шаршының ауданы жасырылды. (a−b)²=a²−2ab+b². «a² ауданынан ені b болатын екі жолақты аламыз. Ортақ b² бөлігін екі рет алып тастағандықтан, бір рет қайта қосамыз», — деді Айша. (x−4)²=x²−8x+16. Данияр: «Соңғы мүше оң, ал ортаңғысы −2ab!» Екінші кілт табылды.

4. Екі мұнараның көпірі Өзендегі көпірге a²−b² жазылыпты. Балалар оны көбейткіштерге жіктеуі керек еді. a²−b²=(a−b)(a+b). Данияр тексерді: (a−b)(a+b)=a²+ab−ab−b². Ортаңғы мүшелер жойылады! 9x²−25=(3x−5)(3x+5). «Мұнда a=3x, b=5», — деді Айша. Үшінші кілтпен көпір ашылды.

5. Қосынды кубының үңгірі Үңгір қақпасы көлем туралы жұмбақ жасырды. (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³. Айша түсіндірді: «Бұл — (a+b)²-ты (a+b)-ға көбейтіп, ұқсас мүшелерді біріктіру нәтижесі. Коэффициенттер 1, 3, 3, 1 болады». (x+2)³=x³+6x²+12x+8. «Тек екі кубты қосу жеткіліксіз!» — деді Данияр. Төртінші кілт үңгірді нұрландырды.

6. Мұз сарайының таңбалары Мұз қабырғада (a−b)³ өрнегі тұрды. Қате таңба жазылса, жол қайта қатады екен. (a−b)³=a³−3a²b+3ab²−b³. «Қосынды кубында b орнына −b қоямыз. Тақ дәрежелер таңбасын өзгертеді», — деді Данияр. (x−2)³=x³−6x²+12x−8. Айша «+, −, +, −» таңбаларын тексерді. Бесінші кілтпен мұз еріді.

7. Екі кубтың қазынасы Қазына сандығында a³+b³ таңбасы жарқырады. a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²). Айша көбейтті: a³−a²b+ab²+a²b−ab²+b³=a³+b³. Ортаңғы мүшелер қысқарады. x³+8=(x+2)(x²−2x+4). «Қосынды кубы мен кубтар қосындысы — екі түрлі өрнек!» — деді Данияр. Алтыншы кілт сандықтан шықты.

8. Соңғы күзетші Сарай күзетшісі: «a³−b³-ті көбейткіштерге жіктеңдер!» — деді. a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²). Данияр тексерді: a³+a²b+ab²−a²b−ab²−b³=a³−b³. 8x³−27=(2x−3)(4x²+6x+9). «a=2x, b=3. Екінші жақшадағы үш мүшенің таңбасы да оң», — деді Айша. Жетінші кілт қолға түсті.

9. Жалған жазудың жұмбағы Білім шамының алдында: «(x+2)²=x²+4» деген жазу пайда болды. «Мұнда 4x жетіспейді!» — деді Айша. Дұрысы: (x+2)²=x²+4x+4. Данияр x=1 деп тексерді: сол жақ 9, жалған оң жақ 5. Шамның құлпы енді (x+2)²−(x−2)² сұрады. Балалар квадраттар айырмасымен (4)(2x)=8x тапты. Жеті кілт бірдей жарқырады.

10. Үйге оралған білім Білім шамы қайта жанды. «Сендер формулаларды жаттап қана қоймай, неліктен дұрыс екенін түсіндіңдер», — деді кітап. Сиқырлы әлем мектеп кітапханасына айналды. Айша: «Алдымен өрнектің түрін танимыз», — деді. Данияр: «Сосын a мен b-ні анықтап, таңбалар мен коэффициенттерді тексереміз!» — деп қосты. Екеуі жаңа есептерден қорықпады. Олардың ең үлкен олжасы — бірге ойлау мен дәлелдеу еді.